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Unterrichtseinheiten

Hier ist eine Liste mit unseren Unterrichtseinheiten für verschiedenen Klassenstufen. Unterhalb der Tabelle befinden sich noch genauere Informationen.

schulbesuch_hardtberg

Klassenstufe Angebotene Unterrichtseinheiten
1-2
  • Gratbildung bei Sandhaufen
  • Kryptographie - Sandorf-Verschlüsselung
  • Kürzeste Wege: Warum sind Seifenblasen rund?
  • Mathematische Basteleien

 3-4
  • Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
  • Geometrie - Parkettierung
  • Geometrie - Platonische Körper
  • Gratbildung bei Sandhaufen
  • Kryptographie - Caesar-Verschlüsselung
  • Kryptographie - Sandorf-Verschlüsselung
  • Kürzeste Wege: Warum sind Seifenblasen rund?
  • Mathematische Basteleien

 5-6
  •  Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
  • Geometrie - Parkettierung
  • Geometrie - Platonische Körper
  • Graphentheorie - Das Haus vom Nikolaus
  • Gratbildung bei Sandhaufen
  • Kryptographie - Caesar-Verschlüsselung

 7-8
  • Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
  • Graphentheorie - Das Haus vom Nikolaus
  • Knotentheorie - Die Welt der Knoten
  • Fraktale - Eine kleine Einführung
  • Kryptographie - Caesar-Verschlüsselung
  • Kryptographie - Enigma

 9-10/EF
  •  Knotentheorie - Die Welt der Knoten
  • Knotentheorie - Knoten und Invarianten
  • Fraktale - Eine kleine Einführung
  • Fraktale - Eine Einführung
  • Kryptographie - Enigma

 Oberstufe
  • Einführung in die mathematische Logik
  • Geometrie - Voronoidiagramme und Metriken
  • Knotentheorie - Die Welt der Knoten
  • Knotentheorie - Knoten und Invarianten
  • Fraktale - Eine Einführung
  • Fraktale - Chaostheorie
  • Fraktale - Rekursionen
  • Fraktale - Dimensionen
  • Kryptographie - Enigma knacken

  • komplexe Zahlen


 

Einführung in die mathematische Logik 

Zeitrahmen: 90 - 120 Minuten
Zielgruppe: Oberstufe
Typ: Unterrichtsstunde mit Übungen
Name: Einführung in die mathematische Logik
Beschreibung: Es werden grundlegende Prinzipien der mathematischen Logik (wie Aussagen, Wahrheitswerte und Quantoren) eingeführt und gemeinsam erarbeitet. Dadurch wird auf verständliche Weise ein guter Einblick in das Mathematikstudium und die dortige Arbeits- bzw. Denkweise vermittelt. Bei ausreichender Zeit können zusätzlich die Gödelschen Unvollständigkeitssätze anschaulich präsentiert, sowie ein Einblick in das sogenannte "Halteproblem" (als Anwendung in der Informatik) gegeben werden.

 

Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt

Zeitrahmen: ca. 150 Minuten
Zielgruppe: Klasse 3 - 7
Typ: Unterrichtsstunde mit interaktiver Komponente 
Name: Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
Beschreibung: Die Fibonacci-Zahlen sind die Zahlenfolge, die man erhält, wenn man bei [1, 1] beginnend jeweils die beiden letzten schon berechneten Zahlen addiert, d.h. man erhält die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8,...
Der Goldene Schnitt ist die Lösung der Gleichung x² = x + 1.
Beide stehen miteinander in Verbindung und kommen häufig in Natur, Kunst und Architektur vor, erstere bei Wachstumsprozessen im Pflanzen- und Tierreich, letzterer beispielsweise in den Werken der Renaissance-Meister. Die Schüler entdeckend anhand von Beispielen diese "besonderen" Zahlen und leiten mit Hilfestellung sogar eine Konstruktionsformel her.

 

Geometrie - Parkettierung

Zeitrahmen: 45 - 60 Minuten
Zielgruppe: Klasse 4 - 6
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Geometrie - Parkettierung
Beschreibung: Parkettieren bedeutet das Auslegen einer Fläche mit Formen. Die Frage, welche Formen verwendet werden können, stellt sich nicht nur beim Fliesenlegen, sondern taucht auch in der Natur auf. Die Schüler finden experimentell heraus, mit welchen regelmäßigen n-Ecken parkettiert werden kann. Danach werden auch unregelmäßige Formen betrachtet, bishin zur Feststellung, dass sich sogar jedes beliebige Dreieck zum Parkettieren eignet. Unter anderem gehen wir auch der Frage auf den Grund, warum Bienenwaben sechseckig sind.

 

Geometrie - Platonische Körper

Zeitrahmen: ca. 45 Minuten
Zielgruppe: Klasse 3 - 6
Typ: Unterrichtsstunde; gut kombinierbar mit Parkettierung
Name: Geometrie - Platonische Körper
Beschreibung: Polyeder sind Figuren, die nur von geraden Flächen begrenzt werden; Platonische Körper sind vollkommen regelmäßige Polyeder.
Kann man aus allen regelmäßigen Formen (n-Ecken) platonische Körper bauen? Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Diesen Fragen gehen die Schüler selbst auf den Grund. Aus "Frameworks" versuchen sie in Kleingruppen alle fünf platonischen Körper zusammenzubauen. Anschließend untersuchen wir diese auf spezifische Eigenschaften und klären, warum wir tatsächlich alle gefunden haben.

 

Geometrie - Voronoidiagramme und Metriken

Zeitrahmen: 60 - 120 Minuten (je nach gewähltem Umfang)
Zielgruppe: Oberstufe
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Geometrie - Voronoi-Diagramme und Metriken
Beschreibung: Man betrachte eine Stadt, in der es mehrere Krankenhäuser gibt. Passiert irgendwo in der Stadt ein Unfall, wird der Patient zum nächstgelegenen Krankenhaus gebracht. Der Einzugsbereich eines Krankenhauses heißt dann Voronoi-Region, die Grenzlinien zwischen den Voronoi-Regionen bilden das Voronoi-Diagramm.
Wir zeigen besondere Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen, diskutieren Verallgemeinerungen und Spezialfälle und die Schüler werden auch selbst welche konstruieren. Ergänzend ist eine kleine Einheit zum Thema Metriken und Abstände möglich, in der es neben der grundlegenden Definition einer Metrik insbesondere darum gehen soll, den Schülern zu zeigen, dass "Kreise" nicht immer rund sein müssen.

 

Graphentheorie - Das Haus vom Nikolaus

Zeitrahmen: 45 - 90 Minuten
Zielgruppe: Klasse 5 - 8
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Graphentheorie - Das Haus vom Nikolaus
Beschreibung: Manche Figuren kann man "in einem Zug" zeichnen, andere nicht. Wann geht es, wann nicht und wann spielt der Anfangspunkt eine Rolle?
Wir gehen diesen Fragen nach und führen die Schüler so an das Gebiet der Graphentheorie heran. Gemeinsam finden wir schließlich eine allgemeine Lösung für das obige Problem. 
Im zweiten Teil der Stunde betrachten wir das Königsberger Brückenproblem. Leonhard Euler beantwortete 1736 die Frage, ob es einen Rundgang durch Königsberg gibt, bei dem jede der sieben Königsberger Brücken genau einmal überquert wird. Mit den Erkenntnissen der ersten Stunde finden die Schüler die passende Antwort.

 

Gratbildung bei Sandhaufen

Zeitrahmen: 10 - 15 Minuten (Vortrag), 45 - 60 Minuten (Unterrichtsstunde)
Zielgruppe: Klasse 1 - 6
Typ: Vortrag mit Experiment, ergänzende Unterrichtsstunde
Name: Gratbildung bei Sandhaufen
Beschreibung: Diese Einheit besteht aus zwei Elementen: Einem Vortrag sowie einer sich daran anschließenden Unterrichtsstunde.
Im Vortrag wird eine Verbindung zwischen Mathematik und Ästhetik hergestellt: Wir empfinden Formen als schön, wenn sie gewissen Optimalitätsbedingungen genügen. Viele in der Natur vorkommende Strukturen wie etwa die Form der entstehenden Kanten beim Aufschütten eines Sandhaufens sind in gewisser Hinsicht optimal und treten bei einer Vielzahl verschiedener Anwendungen auf.
Die ergänzende Unterrichtsstunde baut mit Kugeln als riesigen Sandkörnern die Experimente nach und vermittelt auf elementarer Ebene, warum sich die im Vortrag gezeigten Muster ergeben.

 

Knotentheorie - Die Welt der Knoten

Zeitrahmen: 45 - 90 Minuten
Zielgruppe: Klasse 7 - 13
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Knotentheorie - Die Welt der Knoten
Beschreibung: Das "Alltagsphänomen" Knoten wird hier mathematisch untersucht - für die meisten Schüler ein ganz neuer Bereich der Mathematik.
In der einführenden Einheit lernen die Schüler verschiedene mathematische Knoten kennen, erkennen äquivalente (d.h. sich nur durch einfache Schlaufen unterscheidende) Knoten und spielen das "Kreuzungsspiel", in dem es darum geht, einen Knoten taktisch klug zu entwirren.
Die ergänzende Einheit "Dreifärbbarkeit" untersucht eine wichtige Eigenschaft, mit der man verschiedene Knoten voneinander unterscheiden kann.
Die Einheit "Multiplikation von Knoten" verbindet die Knotentheorie mit der Algebra. Die darin eingeführte Operation ist der Multiplikation natürlicher Zahlen erstaunlich ähnlich.

 

Knotentheorie - Knoten und Invarianten

Zeitrahmen: ca. 90 Minuten
Zielgruppe: Klasse 10 - 13
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Knotentheorie - Knoten und Invarianten
Beschreibung: Was ist ein Knoten in der Mathematik? Wann sind zwei Knoten gleich und wie kann man das zeigen? Wann unterscheiden sie sich? 
Nachdem wir die Definition eines "mathematische Knotens" kennengelernt haben, wollen wir diesen genauer untersuchen. Dafür betrachten wir seine Projektion in die Ebene. Mit Hilfe dieser "Knotendiagramme" wird es uns leicht gelingen gleiche Knoten zu erkennen. Die Ungleichheit zweier Knoten ist dagegen oft schwieriger zu beweisen. Ein wichtiges Hilfsmittel dafür sind Invarianten. Dies sind besondere Eigenschaften von Knotendiagrammen, die bei Verformungen erhalten bleiben. Als Beispiele lernen wir die Dreifärbbarkeit und die Verschlingungszahl kennen. In dieser Einheit legen wir großen Wert auf eine präzise Argumentation und führen die Schüler so an mathematische Beweistechniken heran.

 

Fraktale - Eine kleine Einführung

Zeitrahmen: 45 - 90 Minuten
Zielgruppe: 7 - 9
Typ: Unterrichtsstunde mit interaktiver Komponente
Name: Einführung in die Welt der Fraktale
Beschreibung: Was sind Fraktale? Wo findet man sie in der Natur?  Anhand von vielen Bildern werden die zerklüfteten Objekte erklärt und mathematische formalisiert. Es werden mathematische Fraktale gezeichnet und gebastelt, eventuell in der Natur fotografiert. Es kann auch ein Zusammenhang zu den Fibonaccizahlen hergestellt werden.  Eine sehr interdisziplinäre, abwechslungsreiche Einheit!

 

Fraktale - Eine Einführung 

Zeitrahmen: 90 - 120 Minuten
Zielgruppe: Klasse 8 - 12
Typ: Unterrichtsstunde mit interaktiver Komponente 
Name: Die Welt der mathematischen Fraktale
Beschreibung: Was sind Fraktale überhaupt? Diese zerklüfteten Objekte findet man zahlreich in der Natur. Hier werden sie mathematisch beschrieben und zeichnerisch entdeckt. Außerdem wird rechnerisch eine sonderbare Eigenschaft festgestellt: Fraktale haben keinen Flächeninhalt, aber unendlich langen Umfang – wie kann das möglich sein? Falls genügend Zeit bleibt, kann die Länge der Küstenlinie Großbritanniens ausgemessen werden.
 

Fraktale - Chaostheorie 

Zeitrahmen: 90 - 120 Minuten
Zielgruppe: Oberstufe
Typ: Unterrichtsstunde mit interaktiver Komponente
Name: Chaostheorie
Beschreibung:  Chaos – ein alltägliches Phänomen. Den mathematischen Ausdruck findet man bei Staus, beim Wetter, … Anhand des wichtigen Populationsmodells der logistischen Gleichung wird die Entstehung von Chaos erklärt. Dabei wird die Gleichung für die Entwicklung einer Population selbst entwickelt und auf diverse Einflüsse hin getestet. Es wird das Feigenbaumdiagramm gezeichnet und anhand dessen mathematisches Chaos verstanden. Eventuell kann auf den Zusammenhang zu Fraktalen eingegangen werden.

 

Fraktale - Rekursionen

Zeitrahmen: ca. 90 Minuten
Zielgruppe: 10. - 13.
Typ: Unterrichtsstunde mit interaktiver Komponente 
Name: Fraktale und Rekursion 
Beschreibung: Was ist Rekursion und was hat dieses mathematische Konzept mit Fraktalen zu tun? Anhand der "Ackermannfunktion" wird Rekursion kennen gelernt. Ähnlich wie im Studium können hierzu kleinere Sätze (z.T. mit vollständiger Induktion, kann zuvor ebenfalls eingeführt werden) bewiesen werden. Zusätzlich wird der Zusammenhang zu Fraktalen interaktiv herausgefunden.

 

Fraktale - Dimensionen

Zeitrahmen: 90 - 120 Minuten
Zielgruppe: Oberstufe
Typ: Unterrichtsstunde mit interaktiver Komponente 
Name: Dimensionen – nur drei?
Beschreibung: Was ist Dimension eigentlich? Es wird ein neuer Dimensionsbegriff, die Selbstähnlichkeitsdimension, eingeführt und mit diesem die Dimensionen von Fraktalen, interessanten zerklüfteten Gebilden, berechnet. Diese Formen haben gebrochene Dimension – wie kann das möglich sein? Was kann man sich darunter vorstellen?

 

Kryptographie - Caesar-Verschlüsselung

Zeitrahmen: 45 - 90 Minuten
Zielgruppe: Klasse 3 - 7
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Kryptographie - Caesar-Verschlüsselung
Beschreibung: Dieses Verschlüsselungsverfahren soll Julius Cäsar während seiner Feldzüge eingesetzt haben. Durch Verschiebung der Buchstaben im Alphabet erhält man einen Geheimtext. Der Schlüssel besteht dabei aus einem einzelnen Buchstaben, der angibt, um wieviel verschoben wird. Wir basteln eine Verschlüsselungsmaschine, mit der man bequem ver- und entschlüsseln kann.
Die Einheit soll den Schülern ein grundlegendes Verständnis von Verschlüsselung vermitteln und eventuell die Schwächen dieses Verfahrens verdeutlichen.

 

Kryptographie - Enigma

Zeitrahmen: ca. 90 Minuten
Zielgruppe: Klasse 7 - 10
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Kryptographie - Enigma
Beschreibung: Die "ENIGMA" war die weltweit erste maschinelle Verschlüsselungsmaschine. Sie wurde im zweiten Weltkrieg vom deutschen Militär eingesetzt.
Im Rahmen dieser Einheit wird die Geschichte und Funktionsweise der Maschine vorgestellt. Die Schüler bauen selbst funktionsfähige Modelle, mit denen sie sich gegenseitig Nachrichten schreiben können und anhand derer sie typische Eigenarten der Enigma herausfinden.
Gemeinsam analysieren wir ihre kryptographischen Stärken und Schwächen und lernen sogar einfache Angriffsmethoden kennen.

 

Kryptographie - Enigma knacken

Zeitrahmen: ca. 90 Minuten
Zielgruppe: Oberstufe
Typ: Interaktiver Vortrag und Unterrichtsstunde
Name: Kryptographie - Enigma-Knacken
Beschreibung: Die Enigma ist die wohl berühmteste Verschlüsselungsmaschine der Welt. Sie wurde im Zweiten Weltkrieg vom deutschen Militär zur Übermittlung geheimer Nachrichten eingesetzt. Ihre Dechiffrierung war für die Alliierten also von sehr großer Bedeutung. Doch sie wirkte zunächst unknackbar.
Wir werden uns damit beschäftigen, wie es dennoch gelang, die Enigma zu Fall zu bringen. Zunächst lernen die Schüler die Geschichte und Funktionsweise der Enigma durch einen interaktiven Vortrag kennen. Dann betrachten wir verschiedene Ansätze, die Enigma zu knacken. Behandelt werden die "Methode des wahrscheinlichen Wortes", der Ansatz des polnischen Mathematikers Marian Rejewski und die Turing-Bombe.

 

Kryptographie - Sandorf-Verschlüsselung

Zeitrahmen: ca. 45 Minuten
Zielgruppe: Klasse 2 - 4
Typ: Unterrichtsstunde; gut kombinierbar mit "Kryptographie - Caesar".
Name: Kryptographie - Sandorf-Verschlüsselung
Beschreibung: Eine Sandorfmaske ist eine quadratische Schablone, mit der man ganz ohne Rechnen "geheime Botschaften" ver- und wieder entschlüsseln kann.
Wir basteln eine Sandorfmaske und lernen sie richtig zu benutzen. Anschließend diskutieren wir das ungewöhnliche Funktionsprinzip der Schablonen. Dies findet bei den Schülern oft großen Anklang.

 

Kürzeste Wege: Warum sind Seifenblasen rund?

Zeitrahmen: 10 - 15 Minuten (Vortrag), 40 - 60 Minuten (Unterrichtsstunde)
Zielgruppe: Klasse 1 - 4
Typ: Vortrag mit Experiment und Unterrichtsstunde
Name: Kürzeste Wege - Warum sind Seifenblasen rund?
Beschreibung: Wie findet Ali den kürzesten Weg um ein Hindernis herum zu Barbara, und auf welcher Flugbahn gelangt ein Flugzeug am schnellsten von Frankfurt nach Los Angeles? Wir werden gemeinsam die Lösung dieser "Minimumaufgaben" suchen, sowohl theoretisch als auch im Experiment.
Und warum sind Seifenblasen kugelförmig? Weshalb kommt in der Natur der Winkel von 120 Grad so oft vor? Wir werden zeigen, wie auch diese Fragen mit Minimumproblemen zusammenhängen und was sie mit der phönizischen Prinzessin Dido, den Bienen und dem Baukünstler, der das Dach des Olympiastadions in München gebaut hat, zu tun haben.

 

Mathematische Basteleien

Zeitrahmen: 45 - 90 Minuten
Zielgruppe: Klasse 2 - 4
Typ: Unterrichtsstunde
Name: Mathematische Basteleien
Beschreibung: Spielerisch lernen die Schüler, regelmäßige Vielecke zu falten und sehen deren Symmetrieeigenschaften. Anschließend zerschneiden wir das geheimnisvolle Möbiusband und basteln weitere "Papierzaubereien". Schlussendlich erfahren die Schüler sogar, wie man durch eine Postkarte steigen kann. Ein Highlight ist, dass die bunten Objekte im Anschluss an die Veranstaltung mit nach Hause genommen werden können.

   

komplexe Zahlen

Zeitrahmen: 135-180 Minuten
Zielgruppe: Klasse 12 oder 13
Typ: Unterrichtsstunde oder Vorlesung mit Übung
Name: komplexe Zahlen
Beschreibung: Ähnlich zum Unialltag erarbeiten wir mit den Schülern den Begriff "komplexe Zahlen". Dabei gehen wir darauf ein, dass die komplexe Zahlen verschiedene Darstellungen erlauben und erarbeiten anhand der Polarkoordinaten die Einheitswurzeln. Schließlich zeigen wir gemeinsam, dass eine gewisse Klasse von Polynomen über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt.

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