„Das Emmy-Noether-Programm ermöglicht mir, meine eigene kleine Forschungsgruppe aufzubauen und mehr Menschen für dieses schöne Projekt zu gewinnen“, ist Tingxiang Zou hocherfreut über die Zusage. „Gleichzeitig bietet es eine Plattform, um die Verbindungen zwischen Modelltheorie und Kombinatorik zu stärken.“
Das Elekes-Szabó-Problem ist ein kombinatorisches Problem, mit zahlreichen Querverbindungen in andere Bereiche der Mathematik, wie Geometrie, Algebra und Modelltheorie. In ihrer neuen Emmy-Noether-Gruppe möchte Tingxiang Zou am Mathematischen Institut der Universität Bonn höherdimensionale Versionen dieses Problems untersuchen.
Eine Menge von Zahlen kann nicht gleichzeitig in einem additiven und multiplikativen Sinne stark strukturiert sein. Dieses Phänomen ist als "Summen-Produkt-Problem" bekannt. Betrachten wir etwa eine endliche Menge 2, 4, 6, 8, 10 von geraden positiven natürlichen Zahlen. Als mögliche Summen zweier (auch doppelt gewählter) Zahlen aus dieser Liste kommen außer den genannten Zahlen nur wenige weitere vor: 12, 14, 16, 18 und 20. Wenn man die Folge erweitert und mehr gerade Zahlen hinzunimmt, wächst die Anzahl der möglichen Summen weiterhin nur moderat. Die Zahlen haben als arithmetische Folge somit eine starke innere additive Struktur: Ungewöhnlich viele Tripel (x, y, z) mit x, y und z aus der genannten Menge sind Lösungen der Gleichung x + y = z. Hingegen kommen als Produkte neben den genannten Zahlen noch 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 48, 60, 64, 80 und 100 vor. Es herrscht somit keine große multiplikative Struktur. Genau umgekehrt verhält es sich, wenn man sich eine geometrische Folge wie 2, 4, 8, 16, 32 anschaut. Hier liegt eine starke innere multiplikative Struktur vor, aber keine große additive Struktur.
"Das Elekes–Szabó-Problem untersucht solche Phänomene in einem allgemeineren Rahmen", erklärt Tingxiang Zou. "Anstelle von Summen und Produkten betrachtet man algebraische Relationen, die durch Polynomgleichungen über den reellen oder komplexen Zahlen gegeben sind." Die zentrale Beobachtung von Elekes und Szabó lautet dann: Wenn eine solche algebraische Gleichung innerhalb eines endlichen Punktgitters unerwartet viele Lösungen aufweist, muss es – abgesehen von bestimmten entarteten Fällen – eine zugrunde liegende versteckte algebraische Gruppenstruktur (wie Addition oder Multiplikation) geben, die dieses Verhalten erklärt. Betrachtet man beispielsweise endliche Mengen A, B und C der Größe n und eine algebraische Gleichung wie a*a + a*b = c, die durch das Polynom P(x,y,,z) = x*x + x*y - z gegeben ist, dann kann sie maximal n*n = n^2 Tripel (a,b,c) mit a aus A, b aus B und c aus C geben, die diese Gleichung erfüllen. In diesem Fall hat sie aber wesentlich weniger Lösungen und damit induziert P(x,y,z) weder eine additive noch eine multiplikative Struktur. Anders verhält es sich bei P(x,y,z) = x*x + y*y - z, hier hat man tatsächlich n^2 Lösungen. "Wenn die Anzahl der Lösungen sehr hoch ist, also in der Nähe von n^2 liegt, dann deutet das darauf hin, dass sich das Polynom im Wesentlichen wie eine Addition oder Multiplikaton verhält", so Tingxiang Zou. "Wir möchten nun in unserem Forschungsprojekt höherdimensionale Varianten dieses Problems untersuchen." Statt endlichen Mengen von Zahlen betrachten die Wissenschaftler*innen dann endliche Mengen von Tupeln, die auf höherdimensionalen geometrischen Objekten liegen. Auch hier soll erklärt werden, wann algebraische Gleichungen eine unerwartet große Lösungsmenge in endlichen Gittern besitzen.
Die neue Emmy-Noether-Gruppe arbeitet mit Expert*innen aus der ganzen Welt eng zusammen, unter anderem Martin Bays (Universität Oxford), Jan Dobrowolski (Xiamen University Malaysia) und Yifan Jing (Ohio State University). Zudem sollen viele neue Kooperationen mit führenden Forschenden auf diesem Gebiet initiiert werden, darunter Artem Chernikov (Universität Maryland) und Ehud Hrushovski (Universität Oxford).
Zur Person
Tingxiang Zou studierte Philosophie an der Universität Peking und erhielt in Amsterdam ihren Master in Logik. Als Doktorandin der Mathematik forschte sie 2015 bis 2019 am Institut Camille Jordan der Universität Lyon und kam dann nach Stationen an der Hebrew University in Jerusalem und dem Exzellenzcluster Mathematics Münster Anfang 2024 nach Bonn, wo sie als Postdoktorandin am Mathematischen Institut assoziiertes Mitglied des Hausdorff Center for Mathematics (HCM) wurde, eines der derzeit acht Exzellenzcluster der Universität Bonn. Ab September 2026 wird sie eine Emmy Noether-Forschungsgruppe leiten, die anfangs mit bis zu 850.000 Euro von der Deutschen Forschungsgemeinschaft gefördert wird. Die Laufzeit beträgt zunächst drei Jahre und kann nach einer positiven Zwischenbegutachtung um weitere drei Jahre verlängert werden und zusätzliche 710.000 Euro an Fördergeldern erhalten.
Emmy Noether-Programm
Mit dem Emmy Noether-Programm eröffnet die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) herausragend qualifizierten Wissenschaftler*innen in frühen Karrierephasen die Möglichkeit, sich durch die eigenverantwortliche Leitung einer Gruppe über einen Zeitraum von sechs Jahren für eine Hochschulprofessur zu qualifizieren.